CHAPITRE IX 
EXTENSION DE LA MÉTHODE DE NEUMANN 
AU CAS DES DOMAINES SIMPLEMENT CONNEXES. 
LES FONCTIONS FONDAMENTALES 
162. Énoncé. — Le chapitre VIII contient un exposé de la 
méthode imaginée par Neumann pour résoudre le problème de 
Dirichlet tant intérieur qu’extérieur. Nous savons l'importance de 
cette méthode, non pas peut-être pour établir le principe de 
Dirichlet— puisque la méthode du balayage suffit à cet égard, — 
mais pour manifester l'identité des fonctions harmoniques et des 
potentiels newtoniens. Il est donc intéressant de cherchera don 
ner à la méthode de Neumann toute la généralité possible. C’est 
ce que nous allons faire. 
La preuve de la convergence des séries considérées par Neu 
mann n’a été faite jusqu’ici que dans l’hypothèse où la surface 
donnée S est convexe. Nous allons montrer que cette hypothèse 
n’est pas indispensable. 
Le développement complet des considérations qui vont suivre 
serait trop long pour trouver place dans ce cours. On pourra le 
chercher dans un mémoire inséré aux Acta Mathematica en 1896. 
Nous nous contenterons ici d’un aperçu qui fasse entrevoir dans 
quel sens il faut chercher une extension de la méthode de Neu 
mann lorsqu’on a affaire à une surface S qui n’est pas convexe. 
163. Hypothèses. — Nous considérons toujours une surface 
fermée S délimitant un domaine intérieur T et un domaine exté 
rieur Th 
Cela posé, voici quelles hypothèses nous ferons désormais sur 
la surface S.