Hallert: Die grundlegenden Projektionsbeziehungen der Photogrammetrie 35 
  
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Bild 3 Die Lage nach der Rotation ß in die positive 
%.,2- Richtung gesehen 
ref 
Die Beziehung zwischen den Koordinaten zy, Yrs Zr 
und %-4ß, Yraß, Zrag Wird sofort aus Bild 3 erhalten 
Tro = Trap | 
Yra =  Yrag COS B + Zrag Sin P | (2) 
Zra = — Yraß SiN ß + Zraß COS P. 
Die dritte und letzte Rotation » wird um die Achse 2,545 
vorgenommen (Bild 4): 
Wir finden sofort 
Wpyg 7 — Upg, COS Y + Yraßy SID y | 
Yrap = — Tragy SIN ?' I Yraßy COS V | (3) 
Trag —  Zragy- 
Wenn man nun (3) in (2) und dann (2) in (1) substi- 
tuiert, erhält man nach einigen Rechnungen und wenn 
man die Koordinaten Zragys Yrapy Und Zryp, mit Cp, yr 
und z, bezeichnet: 
  
x= 2p (eos « eos ?' — sin x sin f sin 7) 
+ yr (cos « sin y 4- sin x sin f eos y) — 
— Zr sin « cos ß (4a) 
y — — %r cos f sin y + yr cos ß cos y -- zr sin f (4b) 
X, 
Car TL 
xr 
= A Vripr 
ed VY 
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K —» Vrs 
  
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Zr, uL. \ 
  
Bild 4 Die Lage nach der Rotation y in die positive 
25,5," Richtung gesehen 
z Zr (sin x cos y + cos sin f sin y) +. 
yr (sin x sin y — cos x sin B cos y) + 
zp cos x cos f. 
(40) 
Wenn man die Koordinaten z;, yr, 2; als Funktionen der 
x, y, z ausdrücken will, kann man die Gl. (1), ( 
2) und (3) 
umgekehrt aufstellen und dann die Substitution durch 
führen. 
Durch die Matrizenrechnung kónnen allerdings diese 
Operationen wesentlieh vereinfacht werden. 
Die Ausdrücke (1), (2) und (3) werden mit gewóhnlichen 
Matrizenbezeichnungen : 
ao cos x, 0, — sin ^ 
(z)= 0. 1. 0 E 
z sin a, 0, cos x / 
ra 1, 0, 0 
(wm) : (0. cos ß, sin 6) : 
Zr 0, — sin f, cos ff 
Vp. eos ^, sin }, 0 
Yraß |=\- sin 7, eos y, 0]: 
ZrxB 0, 0, 1 
Man findet dann sofort 
æ 
(s) = M, M3 
oder 
see 
sin a, 0, cos ^ 
N 
Pray 
Cru Lp 
Yra| =M, (ve) (la) 
“re Zra 
Trag Trap 
Yrag | = Mp \yrag| (2) 
Zpaß Zra8 
c 3 3.22 
rafy Lragy 
bras, = M, : "| (a) 
  
rof; Frais 
Vra gy 
> M, : YreBy 
rs fy 
x cos x, 0, — sin 1, 0, 0 cos y, sin», 0 
( = 9.1 0 } 0, cos B, sin B |: sing cos, 
0, — sin f, cos fi 0, 0, 1 
*\ YraBy 
ar. 
“rafly 
Nach ausgeführter Multiplikation der Matrizen (wobei 
die Regeln solcher Multiplikationen selbstverstündlich 
berücksichtigt werden‘ müssen) findet man die Gl. (4). 
In Matrizenform lauter diese: 
x cos à cos y — sin w sin fsin 77, cos a sin y + 
( ( — cos B sin y, 
z sin a cos y + cos a sin f sin y, sin a sin 7 — 
+ sin « sin B cos y, 
cos ß cos. y, 
— cos. x sin fi cos ?', 
] 
oder * 
Sämtliche Matrizen sind aber 
— sin’a cos ß\ [zp 
sin f | y, | - (M) 
eos x cos B/ \z 
op 
J) = Mag," s]. 6) 
- sogenannte orthogonale 
Matrizen. Die Produktssummen beliebiger Paare von 
Zeilen und Kolonnen jeder Matrize sollen Null sein und 
die Determinante soll den Wert 1 haben. Daraus folgt, daß 
die reziproken und die transponierten Werte der einzelnen 
Matrizen identisch sind und daß man folglich durch 
Transponierung oder Austauschen von Kolonnen gegen 
Zeilen die Funktionszusammenhänge umkehren kann. 
  
36 
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