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Ferner ist im A ANb der Winkel AbN das Komplement von ANb. 
Und subtrahiert man von dem gestreckten Winkel Abc den rechten 
Winkel Nbd, so ergiebt sich, dafs AbN auch das Komplement des 
Winkels cbd oder dafs auch 
cbd =■ a/ 2 
und A BCD (xj Abcd ist. Man hat also 
bc : BC = bd: BD = Nb: NB 
= NA : NE = 2 : (1 -f- cos a) 
= 2:2 cos 2 a/ 2 = 1 : cos 2 a/ 2 
bc = BC. sec 2 a/ 2 
Fig. g. 
Auf den Poldistanzen 
a und ß besteht also 
zwischen den Linear- 
mafsen zweier Meridian 
minuten in der Bild 
ebene, die wir durch 
m ol ur, d mß bezeichnen 
wollen, das Verhältnis 
m a : mß =sec 2 a/ 2 :sec 2 ß/ 2 
Andererseits verhalten 
sich auf den Pol 
distanzen a und ß die 
Linearmafse zweier 
Längenminuten, die wir 
durch Z a und Iß be 
zeichnen wollen, wie die 
geradlinigen Halbmes 
ser in der Bildebene, 
mit denen sie beschrieben sind, also in unserem Gradnetze 
1% :lß =2 tang a/ 2 : 2 tang ß/ 2 
Dividiert man diese Gleichung durch die vorhergehende, so erhält man 
_ ¿ß 2 tang a/ 2 _ 2 tang ß/ 2 
mß sec 2 ccl 2 ’ sec 2 ß/ 2 
= 2 tang a/ 2 . cos 2 a/ 2 : 2 tang ß/ 2 . cos 2 ß/ 2 
= 2 sin a/ 2 . cos a/ 2 [: 2 sm ß/ 2 . cos ß/ 2 
= sin a : sm ß. 
Sonach besteht zwischen den Katheten der kleinsten rechtwinkligen 
Dreiecke auf der Bildebene überall genau dasselbe Verhältnis wie 
zwischen den Katheten der entsprechenden Dreiecke auf der Kugel 
oberfläche, mit anderen Worten: die Bildebene ist der Kugeloberfläche 
in ihren kleinsten Teilen ähnlich, so dafs sich auf beiden die Linien