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en posant donc 
log (a. v -f- ~ . v z -f- ... ) = log v + log a -f- « • a 2 A 2 v 2 + • • • 
on aura: 
ô<px = fg (log v. fv) -f- log a. ipx -|- a. A^p'x -f- « 2 . A 2 (p"x -f- a 3 . A 3 (p’"x + • • • 
Problème VI. Développer suivant les puissances de n. 
On a B (r^-) = vn -f v — f v ( i + »log»+ Ç(logv) a +...); 
donc = (px -f- n. ôcpx + -^--tftpoc -|- ô*(px + ..., 
où D(dcpx) = log v.fv; 
or log»=-log (l + i) + log(l + v)=v—i— £ (V- i) + ï(« 3 -^) + • • • 
donc 
Î cp'x ^(p"X -j- i (p"'x . . . 
—fipxdx -j- 1 J^cpxdx 2, — ±J' s (pxdx z -f-.. . 
On peut exprimer dipx de plusieurs autres manières. Soit par exemple 
log v = log (1 -j- v 1) = v 1 ^ (v —1) 2 + } (v— l) 3 — ... 
on aura â(px = + \dfyx — ... 
où â ± (px = <p ’x — (px. 
Problème VII. Développer dn (^ X( ? s l suivant les puissances de n. 
On a ^ — eX (fP x n<p'x -f- _Ü y"x -f- .. = e x .xpx; 
donc Dxpx = ^1 -j-nv-j- v 2, -j- .. fv = (1 -j- v) n .fv 
Dxpx = fv (l + n log (1 + v)+ (log (1+v)f +...); 
donc \px = (px -f- -j——- ô‘ £ (px -j- • 
donc ^*i e 9 X ) __ ^ n dy X _j_ (px -j- b 3 (px , 
où D. d(px = log (1 -f- v) = v — 1 v 1 ^ v z — ... 
donc â(px — (p’x — \ (p"x +1 (p'"x — ... 
On a 
donc 
et 
D. (p {x -j- a) = e av .fv ; 
D.(p(x-\- aY— 1) = ery- x .fv 
D. (p(x— a Y— 1) — e ~ av ^~ x -fV)