3oo 
NOTE V, 
PROBLEME V. 
Les mêmes choses étant données que dans le problème 
précédent, trouver Vexpression de la diagonale qui joint 
deux sommets opposés. 
278. Soit la diagonale de la base SPzzz et la diagonale 
cherchée ST zz u ; le triangle ASP dans lequel cos SAP 
—: — cos y , donnera z*—f*-\-g* -|- ifgcos y; pareillement 
Je triangle TSP dans lequel cos TPSzz—cos CSP, don 
nera m 2 zz z 2 A 2 -j- ihz cos CSP. Il ne s’agit plus que 
d’avoir le cosinus de l’angle CSP ou de l’arc FH : or 
dans le triangle sphérique E F H , on a cos F H zz 
cos EF cos EH-J-sin EF sin EH cos E; substituant les 
cos g — cos a cos y 
valeurs EF izza et cos E : 
, il viendra 
sin a sin y 
sin EH 
cos FHzzr cos a cos EH-| (cos g — cos a cos y ) zz_ 
sin y 
sin EH cos g sin (y — EH), cos a sinEHcosg+sinDHcosa, 
sin y sin y sin y 
Donc 2 h z cos F H , ou %hz cos CSP zzi 2 h cos g. 
z sin EH z sin DH . 
—: h2h cos a. —: . Mais dans le triangle ESP 
sin y sin y 
SP sin ESP 
on a BP zz —:—— et BS : 
SP sin BPS 
z sin EH 
sin SBP 
z sin DH 
sin SBP 
, ce qui donne 
i/et 
zz g. Donc 2 hz cos CSP zz 2 fh 
sin y sin y 
cos g -J- 2 gh cos a. Donc enfin le quarré de la diagonale 
cherchée : 
«* z=zf - g- -|- 2fg cos y 4-2fh cos g + 2gh cos a. 
Corollaire. L’angle solide A est formé par les arêtes 
f, g, h, faisant entre elles deux à deux les angles 200 0 —y, 
200 0 —g, a; ainsi il suffit de changer les signes de cos y et 
cos g dans l’expression de SE pour avoir celle de AM. 
Faisant de même pour les deux autres diagonales, on aura 
les valeurs de leurs quarrés comme il suit :