QUATRIÈME PARTIE. SECTION I. 5
On peut distinguer dans les valeurs successives de Ta, plusieurs
périodes; la première comprise depuis a = o jusqu’à az= i , la
seconde depuis a= i jusqu’à a = 2, et ainsi de suite à l’infini.
Cela pose , il résulte de l’èquation précédente que si l’on connaît la
fonction T dans toute Fétendue d’une de ces périodes, on pourra
déterminer cette fonction dans toute autre période.
Par exemple, si la seconde période est donnée , on connaîtra F ~
qui appartient à la première période, et F ( f ) qui appartient à
la quatrième , par les valeurs suivantes, déduites de l’équation (i) ,
r| = 3r(|), r ( i) = r (f ).
(5). La fonction Ta est la plus simple lorsque a = i ; alors on a
F(æ)= fdæ z= jc=: i. Donc lorsque a est un nombre entier, an
a généralement
Fæ = i.2.5.4 (æ — i ) ; (2)
c’est-à-dire que la fonction Ta est égale au produit de tous les
nombres entiers moindres que a.
Cette notion, fort claire lorsque a est un entier, ne présente plus
aucun sens lorsque a est fractionnaire ; mais l’analyse y supplée en
donnant pour valeur de la fonction ,
l’intégrale fdoc
prise depuis x = o jusqu’à æ= 1 ; intégrale qu’il sera toujours pos
sible d’évaluer avec tel degré d’approximation qu’on voudra.
(6). La fonction Ta est très-remarquable par l’utilité dont elle est
dans la théorie des intégrales définies. Nous pensons qu’il est
nécessaire de lui imposer un nom particulier, et nous proposons
de prendre pour ce nom celui de la lettre grecque F. Nous appel
lerons donc en général gamma du nombre a, le produit de tous les
nombres inférieurs à «, savoir, 1.2.3 (a— 1 ).
Lorsque a ne sera pas un nombre entier, le gamma du nombre a
sera en général une transcendante. Mais nous verrons que ces
transcendantes ont beaucoup de propriétés, et quelles peuvent