CINQUIEME PARTIE. § IV. 
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§ IV. De Vintégrale Z = J* - dx sin rx y et autres 
semblables, prises depuis x = o jusqu à x = oo. 
42. Il faut supposer a < tt , sans quoi l’intégrale deviendrait in 
finie ; cela posé , on pourra, en vertu des formules (¿) du § II, 
mettre l’intégrale X sous cette forme : 
r-, rdxsmrx r zxdxsin rx r cos a cos 2a . cos 3a 
J 7TX J TT \X “f" X 2 4 + X* ' 
9 + X 2 
etc.^. 
Mais dans les limites données, on a trouvé f -^ ~-e ” a 
3 J tïi' 2 -f- x a a 
et -’ dx 
/ dx • 7T -i 
— sm rx = - ; donc 
x a 
Z = | — e~ r cos a-j~ e~ 2r cos — e~ 3r cos 3a -f- etc. 
Or la suite z cos a — z 2 cos 2a + z 3 cos 3a — etc. est le développe-* 
ment de la fonction—& cos a ~P_ Z — donc en faisant on 
1 -f- az cos « -f- ' 
aura Tintégrale cherchée 
, ( e~ r cos a -f- é~' Sr ) t e r — e~~ r 
Z 
1 + ae r cos a ~\~ e 
‘ ^ _j_ e ~ r -\- 2 cos a* 
45. SoilproposésemblablementTintégrale Z=f-^~^r x ^ xcosrx f 
J Q —f-6 
dans laquelle on suppose toujours « < 71 ; on pourra, au moyen des 
formules (b) du § II, mettre cette intégrale sous la forme 
7 _ 1 Cdxcosrx( coska — 5eos|g ■ 5cos|a 
Z — jaxcosrx^ +xi z + 
Effectuant les intégrations au moyen de la formule connue. 
/ dx cos rx TT _ , 
=s — e mr , il viendra 
m -f- x 2 ° ' n 3 
* r COS vö 
3 
e 2 
Mais on a 
cos 0 -— z cos 56 + z a cos 56 — etc. 
“ r cosfß-f-e r cosf# — etc. 
( 1 -f- z) cos 0