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FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, 
A _ ]/(i - ñ 
i +1 
(~) 
On aura trois autres équations semblables en mettant successivement t', 
t", t" 1 à la place de t, et, au moyen de ces quatre équations linéaires, on 
déterminera les quatre coefïïciens c, c t , a, a x en fonctions des quantités 
connues t, t', t", t" 1 . 
Soit ensuite (x—i)(x—t') (x — t") [x—t'")r=zx 4 —Ax' i -{-VtX 11 —Cr-J-D; 
il faudra que la quantité 
(c-l-c^q-a: 6 ) 2 J™ — (a-f- a,xY -j~x* — — xÿ , 
développée suivant les puissances de x, soit identique avec le produit 
développé 
x 4 — A.r 3 -f- Bx a — Cx -f- D) (x* — px -f- q) ,• 
ce qui donnera pour déterminer p et q les deux équations 
p -f- iV = — (m H- i) — 2C X — a\ , 
q + pA + B = i + 2C + c\ + (m + i) c x ■— + iaa x , 
l’une des deux pouvant être remplacée par l’équation 
qD = c a — « 2 . 
On connaîtra ainsi les deux fonctions qui doivent sc joindre aux quatre 
fonctions données pour composer le premier membre de l’équation ^3). 
Ce résultat, pour un même système de quatre racines données t, t', 
t", test susceptible de 2 3 ou huit formes différentes ; car, à l’excep 
tion de la quantité A , dont le signe est indifférent, puisqu’il est lié à 
ceux de a et a t , qu’on peut changer à volonté, les trois autres quan 
tités analogues A', A", A //; , qu’on peut prendre avec le signe -f- ou avec 
le signe —, donnent huit combinaisons: on obtiendra donc en général 
huit solutions, et ce nombre serait doublé si l’on donnait successivement 
à m les deux valeurs -j- {/5 et — \/5. 
3o4. Telle est la solution générale du problème où l’on prend arbi 
trairement les quatre quantités t, t 1 , t", t'" ; mais nous nous bornerons 
à développer le cas le plus simple, celui où de ces quatre quantités 
trois sont égales à zéro. Alors on a l’équation