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Full text

Title
Contenant divers supplèmens à la théorie des fonctions elliptiques
Author
Legendre, Adrien Marie

/
TROISIÈME SUPPLÉMENT.
33 9
ou
i - / i i.3 \
k“ fdce (cos &)) £ -f- - k* cos“ ce -f- № cos 4 ce -f- etc. j.
Cette intégrale doit être prise depuis ce = o jusqp’à ce = \ tt. Soit
cos ce = z; on aura f dce (cos ce y =— fz*dz(i — z“)” % intégrale qui
doit être prise depuis z — i jusqua z = o, ou, en changeant son signe,
depuis z = o jusqu’à z= i ; mais en mettant z* au lieu de z, les limites
seront les mêmes, et l’on aura la nouvelle intégrale
/
1 i —i i r - P i oT-2 ri
iz* dz(i—z)‘
2 V ' 2 T | fi
I — •
D’un autre côté, on a trouvé (tome II, page 455) F“| = 4‘7r a F l (sin 45°)
et F 7 T 7 = ^,-e'- ; donc l’intégrale cherchée
4 4 sin 45 0
f dce (cos ceY = —
2» F 1 (sin 45°)
*
Cette intégrale étant trouvée, si on l’appelle P, on aura les intégrales suc
cessives
fdce (cos ce) 2 2 = g P, f dce (cos ce a = P, etc. ;
donc la fonction complète 4/' £ a pour seconde expression
4"i = f-V _ * ..( 1 + i k\\ -+- — &Î2- + etc.).
Ainsi l’on a la formule générale
F'* ~ F’c _ . 1*. 3 , Ij „ 3j , N
\2/ F‘sin4ô°\ '2 5^2.4 *5.g /
On doit voir maintenant que si plusieurs fonctions *\x sont réunies avec
les conditions nécessaires pour former le premier membre de l’équation (3),
cette somme de fonctions, multipliée par le nombre M = v // ( 2 "4” 2 ^)> de-
vra être égale à une constante composée exactement des constantes F x b,
F'c. C’est ce que nous allons vérifier dans les exemples suivans, après avoir
établi les formules générales qui se rapportent au cas de fz= 5 et = 4*
3a4. La fonction peut la partager en deux facteurs

ensuite, si l’on prend 6x-=.a et 6,.r= 1, l’équation (2), réduite à la
45..