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Eine der allereinfachsten Reihen ist die geometrische Pro 
gression 
1, X, x J , x 3 ... etc. . .. 
deren allgemeines Glied x 11 ist. Die Summe der n ersten 
Glieder dieser Reihe ist bekanntlich 
1-j-x-j-x- -i-... + x*-l = -i 
1 1—X 1 X 
x n 
und da der Zahlenwerth des Bruches -j—^, bei zunehmenden 
Werthen von n sich der Grenze Null nähert, oder aber über 
alle Grenzen hinaus zunimmt, je nachdem x kleiner oder grö 
ßer als Eins ist, so ist in dem ersten Falle die Reihe conver- 
1 
girend, und ihre Summe — im zweiten Falle dagegen 
ist sie divergirend und hat also keine Summe. 
Soll demnach die Reihe 
(1) u 0/ Hz, «n/ «n+l, etc 
convergiren, so ist es nothwendig, aber auch hinreichend, daß, 
bei immer zunehmenden Werthen von n, die Summe 
s n = u 0 + + u 2 + U 3 + ... + u n _i 
sich einer bestimmten Grenze 5 nähere, d. h. es ist nothwendig 
und hinreichend, daß für unendlich große Werthe von n die 
Summen 
®n+l, s n-f2, Ctc., .. . 
von der Grenze 8 und also auch unter sich unendlich wenig ver 
schieden sind. Uebrigens sind die Differenzen zwischen der Summe 
s n und jeder der folgenden durch die Gleichungen 
s n+l s n —' u n , 
s n+2 s n == u n “h u n+l, 
Sn-f-3 — s n = u n + u n-f 1 + u n+2 , 
etc 
gegeben. Wenn demnach die Reihe (1) convergiren soll, so 
muß zuvörderst das allgemeine Glied u n desto kleiner werden, 
je größer n wird; aber es ist nicht hinreichend, daß diese Be 
dingung erfüllt werde, sondern es müssen auch die verschiedenen 
Summen