Pour ramener ces expressions aux formes ordinaires des fonctions 
elliptiques, je fais c a = A a ^ s in a Y* 0U P^ US simplementc=cTsin l 9 
ce qui donne A a cT a sin a /') = et j’ai d’abord ds = 
B 
5 = J E(c,cp). 
Cette équation fait voir que tout arc s de la ligne la plus courte 
peut être assimile' indéfiniment à un arc d'ellipse dont le demi- 
petit axe CP == B, et le demi-grand axe CD = ~, quantité plus 
grande que B et moindre que A, puisqu’on a ^ = A Si sur 
ce quart d’ellipse P/?zD, on prend un point m qui ait pour ampli 
tude <p, ou qui soit déterminé par les coordonnées C/’=Bcos(p, 
~ sin ф , Гаге P m de l’ellipse sera égal en longueur à Гаге 
AM de la ligne la plus courte. 
Ces déterminations ont lieu dans toute l’étendue de la courbe 
qu’on veut construire ; mais il suffit d’examiner le cours de cette 
courbe depuis ф=го jusqu’à ф = go®, c’est-à-dire depuis le point 
A où Гоп a Л = l, jusqu’au point I où la courbe rencontre l’équa 
teur et où Гоп a Л = о. Au point A la courbe est perpendiculaire 
au méridien ou tangente au parallèle ; au point I elle coupe l’équa 
teur sous un angle I, tel qu’on a cos I = sin M = cos 1' } de sorte 
que l’angle I est égal à la latitude réduite V. 
Dans ce même point, la courbe AMI est égale au quart d’ellipse 
| E' (4 
BwD, et on a î 
(128). Venons maintenant à la seconde formule qui donne la Ion- 
B B 
gîtudeP, on aura d’abord, en faisant /z=tang a Z / , ¿1 V-ô«T^ TcôTt 
¿P;=M. 
1 -4- n sin 2 ^