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jours de la forme 
PREMIÈRE PARTIE; 
A + B sin p ^ i es coefficiens sont constans. Il 
C -f- D sin 2 ç> 
ne s'agit plus que de substituer cette valeur de x a dans P , et la for 
mule sera transformée en une autre /^—7—7 —■-r , dans 
J R J [/(1 — c 2 sin 2 <p) ' 
laquelle c sera plus petit que l’unité', et Q sera une fonction 
rationnelle paire de sin <p , laquelle contiendra sin <p au même 
degré que P contient x. 
Nous faisons abstraction du premier cas, parce que la forme de 
la valeur de x est un peu différente , et que d’ailleurs en suivant la 
méthode de l’article 5, on évite ce cas, puisqu’on tombe toujours 
sur des facteurs réels. Mais nous reviendrons dans un autre article 
sur le cas des facteurs imaginaires. 
Développement de la formule 
sin a <p)* 
(8). Nous représenterons dorénavant le radical {/(1—c 2 sin a (p) 
par A , et aussi par A (<p)et A ( c, <p), lorsqu’on le regardera comme 
fonction de (p, ou comme fonction de c et 
Considérons d’abord le cas où Q serait une fonction entière, et 
soit Q = A -f- B sîn 2 <p -f- C sin 4 q> -f- etc. ; si on représente pour 
abréger, l’intégrale p ar 0 n aura 
AZ°+BZ'-f-CZ 4 -{- etc. 
Mais en différenliant la quantité A cos <p sin 4 * -3 <p, on trouve aisément 
la formule 
A cos (p sin 4ft-3 <p = Çuk—5)Z 2 * -4 —-(i-j-c a )(2&—2) Z 4 * - *-f-c fl (2 A— 1 )Z 2i ;: 
d’où il suit que Z 4 , Z 6 , etc. peuvent s’exprimer au moyen de Z° 
et Z 4 , et qu’ainsi dans le cas où Q est une fonction entière, l’inté 
grale J'-—— est égale à une quantité algébrique, plus une intégrale 
de la forme /( A -f-B sin a !p ) 
dp 
(9). Soit maintenant Q une fonction quelconque rationnelle de 
sin a cp ; après avoir extrait la partie entière, et l’avoir traitée comme