DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. i5. 
Nous appellerons désormais fonctions ou transcendantes elliptiques, 
les intégrales comprises dans cette formule. La transcendante H sera 
supposée s’évanouir ou commencer lorsque <p = o ; son étendue 
sera déterminée par la variable <p , qu'on appellera Vamplitude ; la 
constante c, toujours plus petite que l’unité, s’appellera le module ; 
enfin |/(i — c 2 ) que nous désignerons constamment par pourra 
s’appeler le complément du module. 
La quantité H, lorsqu’on ne considère que la variabilité de , 
peut se désigner par H (<p) ; si on considère à la fois la variation du 
module et de l’amplitude, on peut la représenter par H (<?,<?)_, 
et ainsi de suite , si on voulait avoir égard à l’inégalité des coef- 
fîciens. 
(12). Il suffit de connaître toutes les valeurs de H, depuis <p= o 
jusqu'à cp = 90 o = ^ , et on connaîtra facilement la valeur de cette 
transcendante pour une amplitude quelconque. En effet , soit 
<p = irt dtz a, i étant un entier, et a un arc plus petit que ~, alors 
on aura 
Il en est à cet égard de la fonction H comme des arcs d’ellipse 
et en général des arcs de toutes les courbes ovales composées de 
quatre parties égales et semblables : un arc, quelque grand qu’il 
soit., et renfermant, si l’on veut, plusieurs circonférences, s’exprime 
toujours sans difficulté par le quart de la courbe et une portion de 
ce quart. La fonction déterminée H est en quelque sorte l’unité 
des fonctions H , ou la fonction devenue complète ; nous la dési 
gnerons par H 1 . 
Il ne paraît pas que la fonction H , prise dans toute sa généralité, 
puisse se réduire à des arcs d’ellipse ; cela n’a lieu que lorsque 
n = o , ou lorsque quelque substitution peut faire disparaître le 
dénominateur 1 -}-/z sin 2 <p, ce que nous ne croyons pas possible en 
général. Ainsi la dénomination de fonction elliptique est impropre 
à quelques égards ; nous l’adoptons néanmoins à cause de la grande 
analogie qu’on trouvera entre les propriétés de cette fonction et 
celles des arcs d’ellipse.