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Full text

Title
Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures
Author
Legendre, Adrien Marie

2Cf6
SECONDE PARTIE.
de oc , puisqu’en effet on a ( Cale. diff. } pag. 44 ^ )>
formule qui est propre à donner la valeur approchée de M, quel que
soit œ, pourvu qu’on suppose oc plus grand que l’unité. Cette même
formule donnerait la valeur de M , lorsque oc est plus petit que
l’unité ; car en représentant par M(x) et par M(x-j-i) des fonctions
semblables de oc et de oc-\- i, on a évidemment
M(x) = M(x + i)
\ / X-f- 1 7
ou encore
etc. ;
de sorte que oc étant plus petit que l’unité, on aura la fonction
M( oc) ou M , au moyen d’une semblable fonction où or sera aug
menté de plusieurs unités, et qui rendra la suite précédente assez
convergente dans les premiers termes, pour qu’elle puisse donner
toute l’approximation qu’on peut desirer.
(75). Cela posé, si oc devient x-f-¿y (où étant plus petit que l’unité).
les fonctions Met N qui peuvent être représentées par M(x) etN(x),
deviendront M(x-f-ce>) et N {oc -j- ce). Or, je dis que la somme
M (x) + N (x) = M (oc H- «) +N (x-f- 6s)), et que les deux sommes
sont égales à une même constante.
En effet, si la suite qui a pour somme N (oc) , au lieu d’être
prolongée à l’infini , était continuée seulement jusqu’au terme
—-j—•, 711 étant un nombre très-grand , la somme M (oc) -f- N (oc)
et la somme M(x + où) —j— N (oc —f— Ct)) ne pourraient différer entre
elles que d’une quantité moindre que
, puisque cette
oc -j- m -f- x
différence est celle qui a lieu lorsque où = 1. Or m étant
très-grand, la différence — 7—est censée nulle: à plus forte
07 x m ■4-1 1
raison le sera-t-elle lorsque la suite N (x) sera prolongée à l’infini.
On aura donc
M -f- N = const = C'}
mais