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Full text

Title
Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures
Author
Legendre, Adrien Marie

DES INTÉGRALES EULÉRIENNES.
mais puisque la valeur de N est
297
+
I -j-X 2-\-X 3 + 3?
-h etc..
si on développe chacune de ces fractions dans l’hypothèse que x
est plus petit que l’unité , on aura
N = 1 + ~ + g +j+ etc -
. , — (i + ^ + ^ + ^ + etc.)
+ ^0 + i + è + ^+ etc -)
—« etc.
La première partie 1 + 7 +j 4“ i + etc. n’est autre chose que la
constante G'5 donc on aura
M = S a x — S 3 x 2 -f- S 4 x s — S 5 x* -f- etc. , (y)
S„ représentant en général la somme des puissances réciproques de
degré 11 des nombres naturels.
(76). Mais dans l’hypothèse dex>i,ona, d’après l’équation (r) ,
dI ^W =1 og*_-L_^ + * etc..
dx
et dans la même hypothèse on a
M = log x + G -j- -f- etc.
O 1 * 2X 2.X 2 1 4 xir
Donc
1!£.|IM = _i + m-c,
X
O)
équation qui doit avoir lieu quel que soit x, puisque M peut être
regardée comme une fonction continue de x.
Si maintenant on suppose x la suite (y) } on aura
^ ~ — le — ^ + S a x — S 3 x* + S 4 x 3 — etc. ;
d’où résulte en intégrant,
îog F (x) =—log x — Cx-f- \ S a x a —1 Sj.x 3 -f- \ S 4 x*— etc.
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(4)