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Full text

Title
Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures
Author
Legendre, Adrien Marie

2q8 SECONDE PARTIE.
On n’ajoute pas de constante , parce que ¿rf (x) ou F ( i -f- x) se
réduit à l’unité lorsque x s= o.
(77). La formule (^) qui donne un développement complet de
log F (x), servira à exprimer la valeur de toute fonction proposée
F (z) , puisque cette fonction peut toujours être ramenée au cas où z
est plus petit que |, et même à celui où z est plus petit que
De la formule (^) on déduit immédiatement la suivante ,
log E (i-f-a?) =— Cx-f- j S a x 2 — j S 3 x 3 -f- \ S 4 jr 4 —■ etc., (¿y)
et en changeant dans celle-ci le signe de x, on aurait
log E (1—x) = Cx -f-1 S a .r a + ^ S 3 .r 3 i S 4 .:r 4 -f- e te., (a')
formules également propres h faire trouver dans chaque cas proposé
la valeur de E(V), puisqu’on peut toujours ramener cette fonction
soit à la forme F (1 ~\~x), soit à la forme F(i— x), x n’excé
dant pas
Ainsi on a des séries régulières et toujours convergentes poür
calculer la valeur d’une fonction donnée F ( z) ; elles supposent
seulement l’emploi des quantités S a , S 3 , S 4 , etc., dont Euler a
donné les valeurs numériques fort approchées jusqu’à S l5 ( Cale. dijf. 9
page 456).
Nous devons observer que la formule (ce) revient à celle qu'on
voit dans l’ouvrage cité, page 800; il parait seulement qu’Euler
n’a pas aperçu l’usage que cette suite pouvait avoir dans la déter
mination des fonctions F(.r) dont il s’est occupé dans d’autres endroits
de ses ouvrages.
Remarquons encore qu’on peut déduire de la formule (¿y), cette
valeur de G,
Cs=—■ MogF(i “ S a .r — g S 3< r s +^ S 4 x 3 — etc.,
d’où l’on voit qu’il suffit de connaître une valeur particulière de
F ( 1 -f- x) , et qu’on aura la valeur de G exprimée par une suite
d'autant plus convergente que x sera plus petit. Si l’on fait x =
on aura