TROISIÈME PARTIE. 
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De Vintégrale J 
( x" — i ) dx 
lüg X 
et autres semblables, prises 
depuis x = o jusqu'il x = i. 
(5 7 ). L’inlegraleJ^ prise entre ces limites, est infinie ; l’in 
tégrale J'se réduit à la même form en faisant x n '*' i z=:u 9 y 
elle est donc aussi infinie ; mais la différence de ces infinis est une 
quantité finie qu’il s’agit de déterminer. 
/ C 1 1 df00 * * F • e 
—; si on différenlie cette équation 
par rapport à /?, on aura 
~ = foc n dx ~ 1 
an J 
donc iiP 
dit 
n -f- i ’ 
-, et par conséquent P = log (w-f-i)^ sans cons 
tante , parce que P doit s’évanouir lorsque n = o. On a donc entre 
les limites données, 
/(*"— 0^= lo g C w + 0- (0 
De là il est facile de trouver, entre les mêmes limites, l’intégrale 
Ç Soit pour cet effet ¿c’ n+1 =«, et ——a,, on aura 
/ Cx n —\')x m dx ri u>L —0 du . , , N 1 / tïi —f~ n —}— i \ 
k —d—=j og(«+o = iog( )■> 
donc 
(^) 
/ C.x 11 — i) x m dx i /m 4- n 4- i\ 
i É = l0 S C m+i-> 
On pourrait parvenir immédiatement à ce résultat en observant 
que (x n — i) x m = æ m ' hn — i — ( x m — i) ; ce qui donne 
/ (x n —I)x m dx r , s dx r , _ N dx , 
1 j- =/(x-+"-i)^-/(x”-i) E = log > 
En général, si on a un polynôme 
X = AoC n -f- Bjr"“ ‘-f- Cx B—9 -J- etc. , 
qui se réduise à zéro lorsque x = i, on pourra le mettre sous la 
forme 
X = A (x n — i) 4-B(x n ~ 1 — i) —f— G (o:”“ 9 — i )-f- etc.;