TROISIÈME PARTIE.
3 7 o
De Vintégrale J
( x" — i ) dx
lüg X
et autres semblables, prises
depuis x = o jusqu'il x = i.
(5 7 ). L’inlegraleJ^ prise entre ces limites, est infinie ; l’in
tégrale J'se réduit à la même form en faisant x n '*' i z=:u 9 y
elle est donc aussi infinie ; mais la différence de ces infinis est une
quantité finie qu’il s’agit de déterminer.
/ C 1 1 df00 * * F • e
—; si on différenlie cette équation
par rapport à /?, on aura
~ = foc n dx ~ 1
an J
donc iiP
dit
n -f- i ’
-, et par conséquent P = log (w-f-i)^ sans cons
tante , parce que P doit s’évanouir lorsque n = o. On a donc entre
les limites données,
/(*"— 0^= lo g C w + 0- (0
De là il est facile de trouver, entre les mêmes limites, l’intégrale
Ç Soit pour cet effet ¿c’ n+1 =«, et ——a,, on aura
/ Cx n —\')x m dx ri u>L —0 du . , , N 1 / tïi —f~ n —}— i \
k —d—=j og(«+o = iog( )■>
donc
(^)
/ C.x 11 — i) x m dx i /m 4- n 4- i\
i É = l0 S C m+i->
On pourrait parvenir immédiatement à ce résultat en observant
que (x n — i) x m = æ m ' hn — i — ( x m — i) ; ce qui donne
/ (x n —I)x m dx r , s dx r , _ N dx ,
1 j- =/(x-+"-i)^-/(x”-i) E = log >
En général, si on a un polynôme
X = AoC n -f- Bjr"“ ‘-f- Cx B—9 -J- etc. ,
qui se réduise à zéro lorsque x = i, on pourra le mettre sous la
forme
X = A (x n — i) 4-B(x n ~ 1 — i) —f— G (o:”“ 9 — i )-f- etc.;