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Full text

Title
Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures
Author
Legendre, Adrien Marie

DES QUADRATURES?
et alors il est clair qu’on aura
'Xdx
071
/
¿p-— A log (»4-1) 4- B log(rc) -f-C log(/z —1) 4- etc.
(58). Supposons maintenant qu’on veuille avoir l’intégrale
(x n I ) 2 dx
(Jxy
en différentiant par rapport à n, on aura
dQ
=/
2 (x n —1 ■) x n dx
2 log (2TZ-f“ l) 2 log (/Z -f” 1 ) î
du J lx
d’où résulte en intégrant, y
Q — (2«+ 1 ) log (2/2+ 1 )— 2 (n-\- i)log (n -f-1). (5)
Soit proposée plus généralement l’intégrale J* ——? on fera
jc m + 1 = u , —-,— = a , et la transformée sera (m -f-1 ) f ——.
7 m + i 7 'J Lu ^
Celle-ci, d’après la formule précédente, a pour valeur ,
(m-{-i) (2* + 1) log (2^4- 1) — 2 (m -f-1) (ct4-i)log (a4- 1).
Donc en remettant la valeur de et, on aura
f ~(/ip - Ix =( 2n -h m -h 1 )l°g(2Zz4-m4-1 )—2(«4-m4-1)log(/z4-/zz4-1)
4-(/?z4-i)lo g (w-f-i),
intégrale qui pourrait être représentée plus simplement par la
formule
f (rrr) ^^ = lA 3 [(/w4“0 2l °gC' w + 0]> (4)
en supposant que la différence A m soit égale à n.
(5q). On trouvera semblablement
f C^Sr) xmdx = î A3 K m +0* l°g ( m + 1 )]•
En effet, si on fait le premier membre = R^ on aura
3 f Ptt)' xm+ ’ dx '
dK
dn
OU
~ = 5(5/z4-/Z2-f-l)log(3zz4-^4" 1 )'—6(2/z4-/w4-l)log(27z4-/w4“l)
4- 5(/z4-wî4^ 1 )l°gC w, 4 _w “f’ 0*