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Full text

Title
Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures
Author
Legendre, Adrien Marie

DES QUADRATURES.
5 7 5
donc
— ( J P . cn .'..^î Ç x ^j- 2a cos 2a s cos 3fp-f-etc.).
Appelons en général P n l’intégrale J' ~9. C ^JL?:9, prise entre les limites
q> = o,

second membre de l’équation précédente. Or il est visible que pour
cet objet, on pourra réduire la suite i-j-2rtcosip-|-2« 2 cos 2(p-f-etc.,
au seul terme 2cf cos A fd

+ SI q ^ /q ^ y intégrale qui s’évanouit dans les limites
données, puisque A et k sont des nombres entiers différons l’un de
l’autre. Nous aurons donc simplement
P 1 — f ~^^~.2a x cos A

(1 -f- cos 2A Mais l’intégrale f dtp ( 1 + cos 2A

r — r=^* CO
Nous avons supposé tacitement que a était plus petit que l’unité;
s il était plus grand, on ferait « = -, et alors A deviendrait
— (ï -f- a 4 — 2 et cos

A 71
se rame-
nerait toujours à une intégrale semblable où l’on aurait a (62). Connaissant ainsi la valeur de P 1 , on peut en déduire par des
différentiations successives, les valeurs de P 4 , P 3 , etc. En effet si on
différentie par rapport à a l’équation P" =J* xp
A n
, on en tire
ou
donc
da
dP*
da
/ ndq> cos xq> f\ — a 2 —
V a ) >
= - (1 —a°) P"" 4 - 1 P";
a K J a 9
pa+i-- 1 /p. J.« № n \ d(a n P") .v
1 —a 2 \ a' da) (ï —a 2 ) d (c n )' C 2 }
Au moyen de cette équation et de la valeur connue de P 1 , on trou
vera successivement