DES QUADRATURES. 
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donc 
— ( J P . cn .'..^î Ç x ^j- 2a cos <p-{-2a 2 cos 2<p-j~>2a s cos 3fp-f-etc.). 
Appelons en général P n l’intégrale J' ~9. C ^JL?:9, prise entre les limites 
q> = o, <p = rt ; il faudra pour avoir la valeur de P 1 , intégrer le 
second membre de l’équation précédente. Or il est visible que pour 
cet objet, on pourra réduire la suite i-j-2rtcosip-|-2« 2 cos 2(p-f-etc., 
au seul terme 2cf cos A<p; car k étant différent de À, on a... 
fd<p cos A<p cos k<p = i fd<p cos (A — k) <p ^ fd<p cos ( A -j- k ) <p 5= 
+ SI q ^ /q ^ y intégrale qui s’évanouit dans les limites 
données, puisque A et k sont des nombres entiers différons l’un de 
l’autre. Nous aurons donc simplement 
P 1 — f ~^^~.2a x cos A<p = -^_ -, fdq> (1 -f- cos 2A<p). 
Mais l’intégrale f dtp ( 1 + cos 2A<p ), prise entre les limites <p = o ^ 
<p = tT , se réduit art} donc enfin 
r — r=^* CO 
Nous avons supposé tacitement que a était plus petit que l’unité; 
s il était plus grand, on ferait « = -, et alors A deviendrait 
— (ï -f- a 4 — 2 et cos <p ), de sorte que l’intégrale J' c °* 
A 71 
se rame- 
nerait toujours à une intégrale semblable où l’on aurait a <C, 1. 
(62). Connaissant ainsi la valeur de P 1 , on peut en déduire par des 
différentiations successives, les valeurs de P 4 , P 3 , etc. En effet si on 
différentie par rapport à a l’équation P" =J* xp 
A n 
, on en tire 
ou 
donc 
da 
dP* 
da 
/ ndq> cos xq> f\ — a 2 — 
V a ) > 
= - (1 —a°) P"" 4 - 1 P"; 
a K J a 9 
pa+i-- 1 /p. J.« № n \ d(a n P") .v 
1 —a 2 \ a' da) (ï —a 2 ) d (c n )' C 2 } 
Au moyen de cette équation et de la valeur connue de P 1 , on trou 
vera successivement