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Full text

Title
Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures
Author
Legendre, Adrien Marie

5 7 4 TROISIÈME PARTIE.
p *={*+.-«•!>-■)}
P 3 =- — . ^rg{(A+i)(A+2)—aa î (A-f-a)(A—a)-f-a ! (A—3)(A—i)}
i. a —ci y K
Pi=———g- . | '~Zÿ{C*4" 1 )(A-f-a)( A 4~3)—3a 2 (A-f-a)(A-f-3)(A—3)
+3« (a 3) (a—3) (a—a)—a 6 (a—3) (a—a) (a— i ) }
P 5 =- a a2 ^{ 0+ i )(*+ 3 )(A-f-3)(A-f-4)—4 a2 ( A + a )C A +3)(^4-4)( ;>i —4)
■4 6û+(a4-3) (a-f 4) (a—4) (a—3)—4a 6 (A-{-4) (a—4) (a—3) (A—a)
+ü 8 (A—4) (A—3) (A—2)(A— 1 ) }
etc.
La loi de ces expressions est facile à saisir, et en général si on fait
^ A-f-1 . A —2 . A—}—3 . . A-f— 77— 1 * n
1 . 2 . 3.... . .11 1 9
P" =
(i — a?Y n ~ 1 i . 2
le coefficient A" aura pour valeur
A n = i -f-
1 A+l
n—i. n-—a. n—3
1.2.3
n A—1 . n—I .71— 3
—p- — ce
n—A—1 . n—A—9.1
œ
1 .2 A—J— 1 . A-f-a
A—1 . n—A—3.77—A—3
A - f""! . A—f— a . A-f-3
{- etc.
Pour s’assurer de l’exactitude de cette formule , il suffît de substi
tuer la valeur générale de P n dans le second membre de l’équation
(2), on trouvera, après les réductions, une valeur de P"-*- 1 qui ne
sera autre chose que ce que devient P“ en mettant n -f- 1 a la place
de n. Tout autre mode de vérification serait moins facile que celui
que nous indiquons.
Le cas le plus simple est celui où n = A -f-1 ; alors A” se réduit
à son premier terme 1, et on a
P
x-t-i
dtp cos A

A K-HI
"TT CL
(1-0
2N27v.-+'I
A-f" ï . A -(- 2 . A-f-3... 2 A
1.2.3....A
(4)
Un autre cas qui mérite d’être remarqué, est celui de A = o ;
alors on a
' f, + (5=lY*. + (1=1^=?)^
J A" 1 L ’ V 1 / \ i.a /
. f n 1 • U 3 • n 2 R I . ~1
+ (—rx?—> + elc -J'
(5)
formule dont les coefficiens sont les quarrés des coefficiens du
binôme élevé à la puissance n— 1. On aurait, par exemple ,