3 7 6 TROISIÈME PARTIE,
on aura pour la valeur du coefficient B%
B"
, n n
1 + - a .——
1 A-f-1
n. n 1 . Il—
A - n. n
~T~
— 1 , n—A . n—A—1
a»
4-
1.2.3
1.2 A-f-1 .A-f-2
g n—A . n A— I . Il—A—2
A—{—1 . A—}—2 . A-}-3
+ etc.
(6)
(64)- Remarquons que dans l’application de cette formule il faut
supposer n = ou > A. En effet, si n était
de A" ne pourrait donner aucun terme semblable à cos A
l’intégrale f& n d(p cos A
La plus petite valeur qu’on puisse donner à n est donc n = A,
alors on a fùf dq> cos A
tement.
Le cas de A = o mérité encore d’être remarqué ; alors on a
/A"dtp = Qi + raV-j- «*4- 3 ) a 6 + etc.]. (7)
Comparant celte formule à la formule (5), on en tire
= (i—ßr„
(8)
ce qui établit un rapport remarquable entre ces deux intégrales,
rapport qui aurait lieu quand même n ne serait pas un nombre
entier, et c’est ce qu’on vérifiera aisément pour le cas de n = \ ,
par les formules de la première partie.
En général si l’on observe que la valeur du coefficient B” n’est
autre chose que celle du coefficient A", dans laquelle on aurait mis
n 4-1 au lieu de n , on en conclura que les deux intégrales dési
gnées par P nH_1 et Q”, ont entre elles un rapport très-simple ; on
a en effet d’après les équations ( 5 ) et ( 6 ), cette formule très-
remarquable
fùSdq cos A
n . n 1 .71—2. . ,n—A-f-1 f ,W, „aW-t-l C C0S A
n J 'J A n+1
et l’équation (8) n’est qu’un cas particulier de celle-ci.
Toutes ces formules sont dues à Euler; mais les démonstrations
de cet illustre Auteur sont, si je ne me trompe, beaucoup moins
simples que celles que je viens d’exposer. Voyez le tome IV de
son Calcul intégral, pag. 194 et suiv.
FIN DE LA TROISIÈME PARTIE.
TABLE
