3 7 6 TROISIÈME PARTIE, 
on aura pour la valeur du coefficient B% 
B" 
, n n 
1 + - a .—— 
1 A-f-1 
n. n 1 . Il— 
A - n. n 
~T~ 
— 1 , n—A . n—A—1 
a» 
4- 
1.2.3 
1.2 A-f-1 .A-f-2 
g n—A . n A— I . Il—A—2 
A—{—1 . A—}—2 . A-}-3 
+ etc. 
(6) 
(64)- Remarquons que dans l’application de cette formule il faut 
supposer n = ou > A. En effet, si n était <A, le développement 
de A" ne pourrait donner aucun terme semblable à cos A<p , ainsi 
l’intégrale f& n d(p cos A<p , prise entre les limites données, serait nulle. 
La plus petite valeur qu’on puisse donner à n est donc n = A, 
alors on a fùf dq> cos A<p = tT (— ce qui se vérifie immédia 
tement. 
Le cas de A = o mérité encore d’être remarqué ; alors on a 
/A"dtp = Qi + raV-j- «*4- 3 ) a 6 + etc.]. (7) 
Comparant celte formule à la formule (5), on en tire 
= (i—ßr„ 
(8) 
ce qui établit un rapport remarquable entre ces deux intégrales, 
rapport qui aurait lieu quand même n ne serait pas un nombre 
entier, et c’est ce qu’on vérifiera aisément pour le cas de n = \ , 
par les formules de la première partie. 
En général si l’on observe que la valeur du coefficient B” n’est 
autre chose que celle du coefficient A", dans laquelle on aurait mis 
n 4-1 au lieu de n , on en conclura que les deux intégrales dési 
gnées par P nH_1 et Q”, ont entre elles un rapport très-simple ; on 
a en effet d’après les équations ( 5 ) et ( 6 ), cette formule très- 
remarquable 
fùSdq cos A<p = 
n . n 1 .71—2. . ,n—A-f-1 f ,W, „aW-t-l C C0S A<P 
n J 'J A n+1 
et l’équation (8) n’est qu’un cas particulier de celle-ci. 
Toutes ces formules sont dues à Euler; mais les démonstrations 
de cet illustre Auteur sont, si je ne me trompe, beaucoup moins 
simples que celles que je viens d’exposer. Voyez le tome IV de 
son Calcul intégral, pag. 194 et suiv. 
FIN DE LA TROISIÈME PARTIE. 
TABLE