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DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. S 7 
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Si dans la seconde formule on fait z== (i—x x ) % , la transformée sera 
N ’ et l* nte £ ra l e devra être prise depuis x = a 
jusqu’à x = i. Comparant cette formule à la formule X, on aura 
f— 3, g - = — 3 , a = [/5, £= i , cos G =— ~ y/3 9 c = cos i5t 
= 7 V/( 2 “+■ ) i ce module étant différent de celui de l’autre 
formule , je le distingue par un accent ; j’ai donc par la substitution 
N = -3* + F (c', <p) + E (V, ? ). 
v 3 v/3 
Or la relation entre <p et x étant 
^~*~ 3 cos 2 p == | — ¿c* -{- i/(5 — 3x* -f- ¿c 4 ), 
si on fait ,r=j, on aura cos î cp=:2p / 5—*3, ou bien tang p== \J 
Mais nous avons déjà vu (art 24) que dans le cas de c=j y / (2-}~y / 3) 
et tang <p == \Jon a exactement F (<p) = j F 1 ; il s’ensuit par les 
formules de l’art. 3a, qu’on a en même temps E(<p) = ÿE l -i-—. 
2 y/3 
Donc l’intégrale N prise depuis .r=o]usqu’à.r=: 1, aura cette valeur 
N 1 
i=v2 F . (c ' )+ îV3 E ’(c'). 
[/3 [/3 
Puis donc qu’on a déjà trouvé M‘ =-7— F 1 (c), et que le produit 
V* 
M'N -1 = | Ti', on aura entre les trois fonctions F 1 (c) , F 1 (c'), E 1 (c') , 
cette relation fort remarquable : 
= F-(e) . [i=^F> («0 + Æ’ (V)] . 
d’où il suit que dans ce cas particulier l’arc d’ellipse E 1 (c) qui 
est une fonction de la seconde espèce , peut s’exprimer par les deux 
fonctions de la première espèce F‘(c), F 1 (c'). D’ailleurs on peut 
observer que c'= y/(i —c 2 ) = b 9 c’est-à-dire que les modules ç 
fit c sont complémens l’un de l’autre.