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■ üp—m 
émentaires, on a 
= i ; donc enfin 
toute valeur de m 
s les facteurs de U. 
: à tout facteur du 
nt encore un terme 
[ — k% sin a ct m )T, 
P artie le 
premier membre, 
T — XJV 
* 2^UV' 5 011 seu_ 
par cette substitu- 
PREM1ER SUPPLÉMENT. i 7 
tude 4 pourra être calculée par la formule trigonométrique (i) ou par 
des formules équivalentes. 
Ayant passé ainsi du module donné h au module plus petit h, on pas 
sera, par des formules semblables, du module h à un module plus petit h x , 
et ainsi à l’infini; ce qui formera l’échelle des modules dans l’ordre décrois 
sant k, h, h l , kg,... jusqu’à la limite zéro. Cette suite peut être continuée 
à l’infini dans l’ordre inverse, au moyen de l’équation algébrique qui existe 
entre les deux modules k et h, et qui permet de déterminer le module k 
par le moyen du module plus petit h ; on déterminera donc semblablement 
le module k, par le module plus petit k, de même, kg, par k t , et ainsi de 
suite ; ce qui produira pour tout nombre impair donné p, une échelle de 
modules infinie dans les deux sens, ainsi représentée 
Lim. i),,. . /3, k a , k,, k, h , h t , h % , 7z 3 ;.... (Lim. o 
et la fonction donnée F(Æ, <p) pourra, en vertu du théorème général, être 
transformée en une infinité d’autres qui auront pour modules les differens 
termes de cette échelle. Tout se réduit à la résolution d’un certain nombre 
d’équations algébriques ; mais nous reviendrons sur cet objet après avoir 
démontré le second théorème général de M. Jacobi, qui sert de complé 
ment au premier, et qui offre un second moyen de transformation, appliqué 
à la meme échelle pour le nombre p. 
;r membre ; donc , 
’a qu’on ait H , = i 
tre dit, l’équation 
lée sous la forme 
équation (i3) de- 
les valeurs trou- 
;ste rien à désirer 
e de M. Jacobi. 
ion préalable des 
tes h et (M qui en- 
et l’ampli- 
§ II. Démonstration du théorème II de AI. Jacobi. 
19. D’après la démonstration que nous avons donnée du théorème I er , il 
est constant qu’on satisfait à l’équation F (k, <p) piF(h, 4)? aussi bien 
qu’à sa différentielle 
dx _ dy 
»/(■ — *"). — —ywc J —Ayj ’ 
qui suppose sin <p = oc et sin 4 =./, au moyen des formules qui donnent 
l’expression dey en fonction de x, et qui déterminent les constantes h et p, 
en fonctions du module donné k et du nombre impair donné p. 
Et puisque, par la substitution de j en fonction de x, les deux membres 
de l’équation différentielle deviennent identiques, ce résultat, considéré 
analytiquement, doit avoir lieu pour toutes valeurs de x et de plus pe 
tites ou plus grandes que l’unité, réelles ou imaginaires, pourvu qu’elles 
satisfassent à l’équation de l’art. 7 , et que les constantes k, h, fj1 restent les 
mêmes.