338 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, 
Une autre manière de trouver la valeur de cette fonction est de faire la subs- 
_ i. 
titution x* = cos*0 -f— yi sio* 0 dans la formule d/x =. f ——— • 
k r J v/[(* a — 0(i — *•*»)]’ 
i _ 3 
il en résultera l’intégrale fk*dQ(i—A^cos'ô)" 4 , où l’on a fait k'*= i— k a . 
Cette formule étant réduite en série, puis intégrée depuis 0 = o jusqu’à 
0 = - 7T y on aura cette seconde expression de 4/ y, 
2 A 
+' \— k ~'■ 10 + î *"• i + ^+ etc ) ; 
on doit donc avoir, en général, la formule 
?. F _— z=zfc*-( i -f. - k fst - -f- — k 4 ^ -4- etc ^ 
V/(a + 2A) 2\^2 4^2.4 *4.8^ c y ’ 
f 
laquelle suppose c % :— ■ ■ --- 
2 -f- 2 A- 
M 1 
Troisième forme , •sL ,/ «*‘ = /^-7=7 —-^ 
^ J V/[(* # — 0 (*•*’— 
Limites x = ^ 
«)]’ 
535. Par une analyse semblable à celle des deux cas précédens, on 
trouvera qu’en supposant 
. (1 — A»);râ . (i4-^)a?î 
cos 0 = i— ; — , cos 0' = 4_L L f 
k*x — 1 A» a: -f- 1 
on a 
, _ F {b, fl) — F (c, V) 
^ \/(2+2 A) 
Les deux angles 0 et Q' croissent continuellement depuis la première limite 
x = p où ils sont nuis, jusqu’à la dernière .r= i, où ils sont égaux à -tt. 
Ainsi l’expression de la fonction complète est 
J," i — 
' A 
F 'b —F’c 
1/(2 + 2*)* 
11 y a un autre moyen de trouver la valeur de cette fonction. Soit 
x = f ; l’intégrale primitive deviendra 
fk* dù> (cos a>Y (1 — k % cos* u>)~ 5 ,