48 FONCTIONS ELLIPTIQUES,
Dans le second cas, qui s’applique aux modules croissans, l’amplitude <p m
se déduira de la précédente (p m _ 15 en résolvant une équation du degré p. 11
j aurait donc autant d’équations de cette sorte à résoudre que d’unités
dans m\ et, en outre, il faudrait à chaque opération calculer la série en
tière des quantités analogues à a„. Mais il s’agit ici de simples possibilités,
et non de l’exécution effective de tant de calculs qui deviendraient bien
tôt impraticables, même pour d’assez petites valeurs de p et de m ; on a
au moins l’avantage de pouvoir former a priori, et par des calculs rendus
faciles par des transcendantes bien connues, l’équation qui fait passer di
rectement du module k au module plus petit h m , ou au module plus
grand k m . Quant aux amplitudes 4m ou (p m , il sera toujours possible de
les trouver par approximation, en supposant F (k, (p) connu, puisque h m
devenant bientôt très petit, ou même négligeable, F (h m , 4m) se réduit à
4»; et que, d’autre part, k m pouvant bientôt être confondu avec l’unité,
F(k m , (p m ) se réduira à log-tang (45° + \ <p m ).
Les mêmes calculs que nous venons d’indiquer s’appliquent aux formules
du théorème 11, ainsi qu’on peut le voir par le tableau de l’art. 5i.
55. Revenons maintenant à l’équation ^ == ^|p‘ ? °u , plus générale
ment , aux équations
K m+j H m K _ i K m
K' P H' m ’ K' p m ' K' m ’
qui servent à passer, l’une du module k au module /¿ m , dans l’ordre dé
croissant, l’autre du module k au module k m , dans l’ordre croissant. Sup
posons qu’étant donné Æ, on veuille calculer par ces formules les diiïé-
rens termes de l’échelle qui répond au nombre impair donné p.
Par la table des fonctions complètes (table i re , tome 11), on connaîtra
à la fois les logarithmes de K et de R' calculés avec douze décimales j ou
connaîtra donc le logarithme de , et par suite celui de Lorsque
h m ne sera pas trop petit, on pourra trouver dans la table une valeur de
h m , qui corresponde à peu près au logarithme de ; alors on trouvera ai-
Fl m
sèment, par interpolation, une valeur fort approchée du module demandé h m .
Il en sera de même des cas où l’on pourrait trouver dans la table un loga
rithme peu différent de celui de ^ ; mais le plus souvent les limites de la
table ne permettront pas de faire ces interpolations, et le calcul pour déter-
