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RÉSOLUTION DU PROBLÈME DE DIRICULET 
c’est-à-dire : 
n 11 
(il 1)+ 11 11 2 =: 0 
ce qui est évident. 
Enfin, en vertu d’un théorème d’Abel relatif aux séries entières, 
il est clair que Y tend vers <p (w) lorsque p tend vers 1. Donc V 
est bien la fonction cherchée. 
Remarquons que l’on vérifie aisément les relations : 
Si donc on pose : 
ri A n cos noi —(- B n sin noi 
on obtient la solution du problème de Dirichlet pour le cas où le 
domaine envisagé est constitué par la partie du plan extérieure 
au cercle C. 
81. Représentation conforme. — Soit une variable complexe : 
z — x | i y. 
Considérons une fonction analytique holomorphe de la 
variable z : 
f(z) = X-f-iY. 
On a : 
ÒX OY 
Ox ~ dy 
ÙX _ è Y 
Oy ~ ôx 
D’où : 
AX = 0, AY = 0. 
De plus, X et Y sont continues et possèdent des dérivées par- 
tielles de tous les ordres elles-mêmes continues. Ce sont donc 
certainement des fonctions harmoniques. 
Réciproquement, soit X une fonction uniforme de x et y, har- 
Poincaeé, Potent. Newt. j 2