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THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN
supérieure X aux modules des coefficients de la série » (w). Dans
ces conditions, on a évidemment :
| A n p" cos nw | < Np u "
J B u o n sin nw | < Np u “
| A w [ < N.
Les termes de la série Y sont donc inférieurs en valeur absolue
aux termes correspondants de la série :
N "2».
1
qui est convergente et à termes tous positifs. Donc, dans tout
domaine intérieur au cercle (1, la série Y est absolument et uni-
lonnément convergente et sa somme Y estime fonction continue.
On démontre de la même laçon que \ possède des dérivées par
tielles de tous les ordres elles-mêmes continues.
11 résulte des remarques précédentes que, pour montrer que
l’on a :
AY = U
en tout point intérieur ii C, il sulfit de montrer que chaque terme
de la série \ satisfait il cette relation. Or on a :
(x iy) n = p" ,'cos nw -f- i sin nw
Mais (x -f- i y) n est une fonction analytique holomorphe de
x -f- i y. D’où :
A (p n cos nw) = 0
A p" sin mi)] = 0.
On peut d’ailleurs le vérifier directement. En effet, changeons
de variables et écrivons l’identité :
A Y
iVV
dp 2
J_ XV
p do
1 ô 2 V
Tout revient à voir que l’on a :
dV
Op 2
1
p do
= 0