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THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN 
supérieure X aux modules des coefficients de la série » (w). Dans 
ces conditions, on a évidemment : 
| A n p" cos nw | < Np u " 
J B u o n sin nw | < Np u “ 
| A w [ < N. 
Les termes de la série Y sont donc inférieurs en valeur absolue 
aux termes correspondants de la série : 
N "2». 
1 
qui est convergente et à termes tous positifs. Donc, dans tout 
domaine intérieur au cercle (1, la série Y est absolument et uni- 
lonnément convergente et sa somme Y estime fonction continue. 
On démontre de la même laçon que \ possède des dérivées par 
tielles de tous les ordres elles-mêmes continues. 
11 résulte des remarques précédentes que, pour montrer que 
l’on a : 
AY = U 
en tout point intérieur ii C, il sulfit de montrer que chaque terme 
de la série \ satisfait il cette relation. Or on a : 
(x iy) n = p" ,'cos nw -f- i sin nw 
Mais (x -f- i y) n est une fonction analytique holomorphe de 
x -f- i y. D’où : 
A (p n cos nw) = 0 
A p" sin mi)] = 0. 
On peut d’ailleurs le vérifier directement. En effet, changeons 
de variables et écrivons l’identité : 
A Y 
iVV 
dp 2 
J_ XV 
p do 
1 ô 2 V 
Tout revient à voir que l’on a : 
dV 
Op 2 
1 
p do 
= 0