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THEORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN 
mimique dans un certain domaine D. Je dis que c’est la partie 
réelle d’une fonction de variable complexe régulière dans le 
domaine envisagé. Posons en effet : 
Y = fJ^dy— ~dx, 
P(L) 
/ (L ) u.v dy 
L étant un chemin d’intégration qui ne sort pas du domaine 1). 
L’expression : 
ÙX 
¿У 
dX 
dx 
Ox dy 
est une différentielle exacte puisque l’on a par hypothèse : 
AX == 0. 
Donc l’intégrale curviligne considérée est indépendante du 
choix que l’on fait pour !.. De plus, on a bien : 
dY éX 
év 
д У 
éX 
(bT 
Donc X -j- iY est une fonction analytique de x -|- iy. D’ailleurs 
il est évident que cette fonction n’a aucun point singulier dans 
le domaine D. Je dis qu’elle est uniforme. En effet on a : 
df= dX—f- idY. 
Mais : 
fdX=0, /clY = 0, 
i/(e) J(e) 
si C est un contour fermé situé tout entier dans D. D’où : 
/*df= 0 
J(0 
dans les mêmes conditions. 
82. — Soient deux aires a et A limitées respectivement par les 
contours c et C. Supposons qu’il existe une correspondance 
univoque et réciproque entre les points de a et ceux de A, de 
telle sorte qu’à tout point m de a corresponde un point M de A 
et un seul, et réciproquement. On dit alors que l’on a effectué