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Schnekkcn-Lineen. 
Anmerkung.. 
Hier muß der kunsiliebende Leser zu förderst fleissig merken den Unterscheid/ welchen 
Archimedes hält unter denen beyden Red-Arten / die erske / andere,/ dritre / vierdre re. 
Schnekkenfläche/ und/ von einer imersken/ andern / dritten/ vierdten/ rc, Umblauff 
beschriebenen/ Schnekken-Lini begriffene Schnekkenfläche. Diese leztere Art zu re- 
den hat er in bißherigen Lehrsägen/ die erste aber in gegentvertigen/ gebrauchet. Nehmlich/ 
fvann eine vielfache Schnekken-Lini durch oftmal widerholten Umblauff der beschreibenden 
Lini verzeichnet tvird/ dergleichen eine die folgende Figur fürstellet/ sonennet erhicr eigentlich 
dieerste Schnekkenfläche den jenigen Raum welcher von der ersten geradenLini H A und von 
der ersten krummen Lini/ die aus H über K biß in A gehet / begriffen tvird./ und hier mit K 
bezeichnet ist: Die andere Schnekkenfläche ist der nächstfolgende Raum] w:lcher von der an- 
derngeraden Lini A B und van der andern krummenaus B über L biß in A. laufsenden begrif- 
fen ivird/ iedoch die Fläche K nicht mit genommen, d. i. diekrumme Fläche welche umb K her- 
umb gehet bey H A anfangend und bey A B wider aufhörend / welche hier mit L bezeichnet 
ist : Also die dritte Schnekkenfläche die jenige ivelche umb die Fläche L herumbgetvunden ist/ 
bey A B anfangendund bey BC wider aufhörend / und hier M zum Gemerk hat. Auf glei-, 
che tveise ist N die vierdte/ und X die funfte Schnekkenfläche/ &. Die vorige Art zu reden 
aber belangend/ so ist zwar die/ von der im ersten Umblauff beschriebenen Schnekken-.Lini be- 
griffene Fläche eben die tvelche hier die ersteSchnekkenfläche genennet wird : Die/ von der im 
andern Umblauff beschriebenen Schnekken Lini begriffene / Fläche aber ist nicht eben so viel 
als hier die andere sondern so viel als hier die andere/ samt der ersten / d. i. L und K zusamnen. 
Also begreifft die dritte obige Art hier die dritte/ andereund erste miteinander: Dievierte Art 
in denen obigen Lehrsäucn hier die vierdte sambt allen vorhergehenden, u. s. f. pt. 
) qWann man nundicses also fleissig beobachtet/ und darbeneben zu Hulf nimt ivas oben im 
KXIV. und XXV. Lehrsatz bewiesen/ und bey der Folge dieses leztern angemerket wordcn/ so. 
Fandie Waarbeit dieses unterhanden habenden Lehrsates gar leicht für die Augen geleget ivers 
den. Dann im XX V. Lehrsas ist bewiesen / daß die Schnekkenflächc ivelche vier K und L 
zusamm begreiffet gegen der andern Scheibe / deren Halbmesser H B iväre/ sich verhalte/ wie 
F § !:: Njss zie achercShestesl;tikas groß all diet Rrasscher + thru! 
Scheibe aber dreymal so groß als die erste Schnetkenfläche K. vermög des X KI V. Lehr- 
satzes. Derotvegentvann K und L zusammen machen 7 und die andere Scheibe 12, so ist dis 
erste Scheibe z, und also die erste Scunetkenfläche KI, die andere L aber allein so viel als 6. 
Daher dann sür eines erhellet das lezte in dem gegenwärtigen Lehrsat / daß nehmlich die erste 
Schuekkenfläche K der andern L sechster Theil sey. Nunsind aus gleichem Grundalle/ oben 
bey der Folge des XXV. Lehrsaßes bemerkete / Zahlen berechnet/ und also befunden worden? 
daß/ iwann K, 1 und L. 6, d. i. K und L zusammmen y; machen/ alsdann K und L und M zus» 
sammen 19 ; diese drey ferner sambt dem N 37 z diese vier sambt dem X, 61 . î. machen. 
Derotvegen so man bon dendreyen K und L. ( d. i. 7.) hiniveg nimmt / kommt für die dritte 
Schnekkenfläche/ 1 2 : so manvon denen vieren K, L, und M (d. i. 19 ) hiniveg nimmt, kommt. 
für die vierdte Schnekkenfläche N so viel als 18 : und so man von denen fünfen / K, L, AML 
und 11 ( nehmlich 37 ) hiniveg nimmt / kommt für X., die sänfte Schnekkensiäche/ 24. Nun 
ist 12 ziveymal/ 18 dreymal/ 24 vicrmal/ N. so viel als 6, der zweyten Schnetkenfläcye Jnno 
halt ; also daß nunmehr die völlige Waarheit des Lehrsases für Augen liget. Archimedes 
hat zwar eines Theils den Lehrsag auch / sondcrlich den lezten Theil / aus derer oben gefun- 
denen Zahlen Vert ältnis erwiesen; das fordere aber ( tveilen er die Verhältnissen | von wels 
chen die Folge des K K V. Lehrsases redet / mit gewissen Zahlen noch nicht benennt hatte ) 
auf andere ivcise bekräftizet/ die tvir also hier auch mit anfügen müsssen. 
In.. Archunedeischer Beweisz des obigen Lehrsatzes. j 
" Es sseyeine/ durch vielfachen Umblausff beschriebene/ Schnekken-Lini/ derer 
Anfangspunct H, der Endpunct k ist/ und welche vermittelst derer Lineen HA, 
AB, B C, &cc. unterschiedliche Schnekkenflächen c vorerklärter massen) beschlies- 
set/ derenersiesey K, dic andere L, die dritte M, die vierdte N, die fünfte X. Soll 
nun ertviesen werden/ daß X viermal / N dreymal/ M ziveymal so groß scy als 
L, L aber scchsmal so groß als K.. § “t 
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