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TABLE DES MATIÈRES. S79 
sultats remarquables sur les relations qui existent entre les fonctions complètes 
F' (c), F 1 (è) , E 1 (c) , E l (è) , dans le cas où c = sin 15°. 
§ XII. Théorème sur les fonctions complètes de première et de 
seconde espèce, dont les modules sont complémens l'un de 
Vautre y page 61 
§ XIII. Equations différentielles qui expriment la liaison mutuelle 
des fonctions E et F, 62 
On remarque qu’une table des fonctions E servirait à déterminer les fonctions F, 
et réciproquement. 
§ XIV. Développement des foliotions F 1 et E 1 en séries _, 65 
Ces fonctions dépendent chacune d’une équation différentielle linéaire du se 
cond ordre : elles se développent en séries , de deux manières, l’une suivant les 
puissances du module c, l’autre suivant les puissances du module complémen 
taire h. 
§ XV. Des changemens qu’on peut faire subir au paramètre dans les 
fonctions elliptiques de troisième espèce _, 68 
Formule pour transformer une fonction de troisième espèce dont le paramètre 
\ C 2 
est n } en une autre dont le paramètre est —, 
On distingue dans les fonctions elliptiques de troisième espèce , trois formes 
du paramètre ; savoir, n~ cot 2 â, n~—i-f-ô 2 sin 2 ô, 11 — — c 2 sin 2 ô, 73 
Formule pour transformer l’une dans l’autre les fonctions elliptiques dont les 
paramètres n et ri satisfont à l’équation (x -f-72) (x -f- n') — è 2 , y3 
Au moyen de cette formule on peut réduire toute fonction dont le paramètre 
est de la forme n — cot 2 â , à une fonction dont le paramètre est de la forme 
n ~ — 1 “h ¿ 2 sin 2 3, et réciproquement; mais celles qui sont relatives à la troi 
sième forme n-=i — c 2 sin a â, ne sont réductibles qu’à des fonctions dont le pa 
ramètre est de la même forme, 74 
§ XVI. Comparaison des fonctions elliptiques de la troisième es 
pèce } 7 5 
La même équation algébrique, qui donne F -f- F (4)— F (a) = o et 
E (<p) -J- E (4) — E ( = c 2 sin ç> sin 4 sin V- , s’applique aux fonctions de troi 
sième espèce, et donne n (<p) -f- n (4-) — H (/«) = à une quantité déterminable 
par arcs de cercle ou par logarithmes. Ainsi les fonctions de la troisième espèce 
se comparent comme celles de la première espèce, aux différences près que 
comporte la nature de ces fonctions.