368 Archimedes von denen Regel- und
Grundfläche und Achse hat / Laut des joden im XI]. der Kegel Z aber ztvey-
mal so groß als eben der vorige Kegel/ Krafft obigen Satzes ; also daß die
Rund-Sänle gegen dem Kegel Z ß verhält wie z gegen 2.) Worausdann
endlich folget/ daß dieeingeschriebene Figur miste kleiner seyn als der Kegel Z,
da sie doch oben / im I. Schluß, grösser zu seyn bewiesen worden. Jst demnach
jr! Set unmöglich / und diehalbe Afterkugel A B C nicht grösser als der
egel Z.
] 11. Satz. JINan selze fürs andere/ siesey kleiner/ nehmlich wieder umb den
Rest a, und widerhole obige Vorbereitung. So wird aus obigen Gründenzu
förderst ( allermassen wie in dem Il. Satz des XXVII. Lehrsatzes ) geschlossen
[verden / daß die umbgeschriebene Figur kleiner sey als der Kegel Z : Hernach
daßdie ganze Rund-Säule gegen der ganzen umbgeschriebenen Figur sich ver-
halte/ wie alle gleiche Vierungen X, gegen allenungleichen Winkelhakensambt
nocheiner gleichen Vierung X. Nun aber sind alle gleiche Vierungen X zusam-
mennicht gar anderthalbmal so groß als eine Vierung X sambt allen unglei-
chen Winkelhaken/ vermög folgender Anmerkung. Derotvegen ist auch die
ganze äussere Kund-Säule nicht gar anderthalbmal so groß als die umbge-
schriebene Figur. Sie ist aber anderthalbmal so groß als der Kegel Z, als
oben bewiesen : IZNüfte demnach die umbgeschriebene Figur grösser seyn als
der Kegel Z, da sie doch vorhero kleiner zu seyn ertviesen worden. Jst demnach
auch dieser andere Satz (weil etwas ungereimtes daraus erfolget) unmöglich,
1ind die halbe Afterkugel nicht kleiner als der Kegel Z. So muß sie demnach
zur. ( weil sie auch nicht grösser ist ) demselben nohtwendig gleich seyn.
“ In dem I. Satz des obigen Betveises ist kundt worden/ daß die Seiten derer ungleichen
Mierungen X, X8s, XT, K U , R X einander ordentlich gleich-übertreffen / und zivar der
Ubertreffungs-Rest allenthalben gleich der kleinesten Seite X Y ; und daß ferner eben so viel
andere/ und ztvar alle der Vierung XK gleiche/ Vierungengegeben sind. Woraus dann Archis
medes in seinem Buch bon denen Schnekken-Lineen/ Cdahin er sich dann auch diß Orts beruf-
fet ) wir aber in des obigen I1 1. HNehrsarzes 2. Anmerkung / betveisen : daß alle gleiche
VRierungen miteinandernicht gar dreymal so groß seyen als alle jene ungleiche zusammen.;; melhr
aber als dreymal so groß / wann die grösseste unter denen ungleichen davon kommt. Hieraus
folget nun ferner leichtlich/ was Archimedes in beyden obigen Säten für getviß annimmet :
Einmal nehmlich/ weil alle fünf ungleiche Vierungen/ XK Y, K U, X T, X s und X mehrals
5 von allen fünf gleichen sind / daß nohtwendig die vier übrige Winkelhaken tveniger seyenals
Eh Elte p en u. zeta.
ungleiche Vierungen/ ohne die grösseste X, tveniger sind als z von allen fünf gleichen/ daß noht-
svendigdie vier übrigeWinkelhaken sambt der noch ganzenübrigenVierung X mehr als; seyen/
und dannenhero alle fünf gleiche Vierungen gegen gedachten vier Winkelhaken sambt derVie-
rung Reine kleinere Verhältnis haben als z gegen 2, d. i. nicht gar anderthalbmal sogroß seyen.
Es kanaber beydes auch auf die jenige Weise dargethan tverden/ deren wir uns in des I111.
Nehrsatzes 2. Anmerkung bedienet v:: Dann / so die Yierung X Y tvird gesetzet gleich
L 2, (o 'ist die Vierung X U gleich «2.2 , X T ogg, KS 16 28, und endlich die ganze X gleich
252 L. Welchem nach der erste Winkelhakk ist 2-2 g, der andere 2-, der dritte 1/6, der vierdte
endlich o 2.2. Die Summanmunaller fünf gleicher Vierungen ist folgends 125.22. Die Sum-
ma derervier Winkelhaken ist 2-44. Die Summagadber eben dieser fünf Winkelhaken sambt
der ganzen Vierung X, macht o- 8.9. Nun aber ist augenscheinlich 1 25 mehr dann andert-
halbmal so groß als 703 nicht gar anderthalbmal so groß aber als 95.'
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